吴国平:高考函数单调性类问题,难,但用上导数将事半功倍_ex_1

吴国平:高考函数单调性类问题,难,但用上导数将事半功倍_ex
吴国平:高考函数单调性类问题,难,但用上导数将事半功倍 从近几年高考数学试卷来看,导数及导数的使用成为高考的热门,尤其是用导数求函数的单调性有关的试题已经是高考数学的热门。使用这一性质能够证明不等式问题、在恒建立问题中求参数的规模、研讨函数的极值与最值。 用导数的性质研讨函数的单调性成为必考内容,这就要求学生既要对导数常识极端了解,还需求有丰厚的应试技巧,然后取得高分。 咱们在处理导数求函数的单调性有关的试题时分,常常需求对参数进行评论,而怎么评论?评论的依据是什么?这个问题是困扰考生的一大难题,也是我们需求解说清楚的问题。 触及函数单调性的问题包含解不等式、求最值、比较巨细、甚至解方程,这些都是近年高考数学的热门问题。若使用单调性界说求解,一般较为杂乱,做此类标题时学生往往功败垂成,失分率较高,但使用导数处理这类问题就变得比较简单,学生也易于承受。 导数极大当地便了对函数单调性的研讨和相关问题的处理,主要是依据这样几个性质: 求可导函数单调区间的一般过程和办法: 1、确认函数f(x)的界说域; 2、求f′(x),令f′(x)=0,求出它在界说域内的全部实数根; 3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无界说点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的界说区间分红若干个小区间; 4、确认f′(x)在各个开区间内的符号,依据f′(x)的符号断定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性. 导数求函数的单调性有关的高考试题剖析,解说1: 已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数). (1)当a=2时,求函数f(x)的单调递加区间; (2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数,若存在,求出a的取值规模;若不存在,请说明理由. 解:(1)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex, ∴f′(x)=(-2x+2)ex+(-x2+2x)ex=(-x2+2)ex. 令f′(x)>0,即(-x2+2)ex>0, ∵ex>0,∴-x2+2>0,解得-√2<x<√2. ∴函数f(x)的单调递加区间是(-√2,√2). (2)若函数f(x)在R上单调递减, 则f′(x)≤0对x∈R都建立, 即[-x2+(a-2)x+a]ex≤0对x∈R都建立. ∵ex>0, ∴x2-(a-2)x-a≥0对x∈R都建立. ∴Δ=(a-2)2+4a≤0, 即a2+4≤0,这是不可能的. 故不存在a使函数f(x)在R上单调递减. f′(x)>0与f(x)为增函数的联系:f′(x)>0能推出f(x)为增函数,但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递加,但f′(x)≥0,所以f′(x)>0是f(x)为增函数的充沛不必要条件。 导数求函数的单调性有关的高考试题剖析,解说2: 已知函数f(x)=bx﹣axlnx(a>0)的图象在点(1,f(1))处的切线与直线平y=(1﹣a)x行. (1)若函数y=f(x)在[e,2e]上是减函数,求实数a的最小值; (2)设g(x)=f(x)/lnx,若存在x1∈[e,e2],使g(x1)≤1/4建立,求实数a的取值规模. 考点剖析: 使用导数研讨函数的单调性;函数恒建立问题. 题干剖析: (1)求出函数的导数,得到b﹣a=1﹣a,解出b,求出函数的解析式,问题转化为a≥1/(lnx+1)在[e,2e]上恒建立,依据函数的单调性求出a的规模即可; (2)问题等价于x1∈[e,e2]时,有g(x)min≤1/4建立,经过评论a的规模结合函数的单调性求出a的详细规模即可. 函数的单调性: 在(a,b)内可导函数f(x),f′(x)在(a,b)恣意子区间内都不恒等于0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数. f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数.

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